Makalah Turunan Fungsi

MAKALAH

MATEMATIKA WAJIB

“TURUNAN FUNGSI”

  

KATA PENGANTAR

Puji dan Syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa. Berkat limpahan dan rahmat-Nya kami mampu  menyelesaikan Makalah yang berjudul “Turunan Fungsi”.

Dalam penyusunan makalah ini, tidak sedikit hambatan yang kami hadapi. Namun kami menyadari bahwa kelancaran dalam penyusunan materi ini tidak lain berkat bantuan, dorongan, dan bimbingan orang tua serta guru, sehingga kendala-kendala kami dapat teratasi.

Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas dan menjadi sumbangan pemikiran kepada pembaca khususnya teman-teman kami sesama siswa/siswi. Kami sadar bahwa makalah ini masih banyak kekurangan dan jauh dari sempurna. Untuk kami  meminta  masukannya  demi  perbaikan  pembuatan makalah  kami  di  masa  yang  akan  datang dan mengharapkan kritik dan saran dari para pembaca.

                                                                                                                                   

                                                                                                               Bontang, 23 Maret 2017

                                                                                                                     Penyusun

                                                                                               

DAFTAR ISI

Halaman judul....................................................................................... i

Kata pengantar..................................................................................... ii

Daftar Isi.............................................................................................. iii

Bab I

Latar Belakang ..................................................................................... 1

Rumusan Masalah ................................................................................ 2

Tujuan ................................................................................................... 2

Masalah ................................................................................................ 2

Bab II

Uraian Materi ....................................................................................... 3

Pengertian  .......................................................................................... 12

Contoh Soal dan Pembahasan............................................................. 13

                                                                     Bab III                           

A. Soal ................................................................................................ 18

B. Kesimpulan .................................................................................... 19

C. Saran  ............................................................................................. 20

Daftar Pustaka..................................................................................... 21

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Seiring dengan perkembangan zaman, pengetahuan terus berkembang sehingga  lebih kompleks sehingga memicu para pelajar untuk lebih meningkatkan ilmu pengetahuan dan teknologinya. Matematika merupakan Ilmu pasti, yang tidak berubah dari dahulu hingga sampai saat ini bahkan terus berkembang.

Matematika adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan mencari berbagai pola, merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang ketat diturunkan dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian. Matematika selalu berkembang seiring dengan berjalannya waktu dan berkembangnya zaman. Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain.

Salah satu materi dalam matematika adalah materi turunan, materi turunan dalam matematika mulai dipelajari sejak Sekolah Menengah Atas atau SMA.

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman.

Turunan merupakan salah satu dasar atau fondasi dalam analisis sehingga penguasaan terhadap berbagai konsep dan prinsip turunan fungsi dapat membantu dalam memecahkan suatu permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Suatu fungsi dapat dianalisis berdasarkan ide naik atau turun, keoptimalan, dan titik beloknya dengan menggunakan konsep turunan. Pada bagian berikut, kita akan mencoba mengamati berbagai permasalahan nyata dan mempelajari beberapa kasus dan contoh untuk menemukan konsep turunan.

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai laju perubahan. Laju perubahan erat kaitannya dengan kecepatan. Pada pembahasan berikut, penulis terfokus pada subbab turunan fungsi.

1.2. Rumusan Masalah

1.  Apa pengertian turunan fungsi  ?

2.  Bagaimanakah konsep turunan fungsi ?

3.  Apa saja aturan-aturan pencarian turunan fungsi ?

4.  Bagaimana sifat-sifat Turunan fungsi ?

5.  Bagaimana penggunaan turunan fungsi ?

1.3. Tujuan

Menjelaskan pengertian Turunan Fungsi,  konsep Turunan Fungsi, menjelaskan aturan -aturan pencarian turunan dengan menggunakan berbagai teorema – teorema yang ada, dan menjelaskan sekaligus membuktikan sifat-sifat fungsi berdasarkan konsep yang ada serta menjelaskan penggunaan turunan fungsi.

1.4. Manfaat

Dapat mengetahui pengertian Turunan Fungsi , konsep Turunan Fungsi mampu mengerti dan memahami aturan – aturan pencarian turunan dengan menggunakan berbagai teorema – teorema yang ada, sifat-sifat fungsi, penggunaan turunan fungsi. Serta dapat memperluas wawasan bagi penulis maupun pembaca makalah ini.

BAB II

ISI

2.1. Uraian Materi

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi  menjadi  yang mempunyai nilai tidak beraturan. 

Limit ini disebut turunan atau diferensial dari f(x) pada x = a. Jika f(x) adalah suatu fungsi yang kontinu pada selang -   berlaku  =  (turunan pertama dari ).     

 Jika nilai limitnya ada, fungsi  dikatakan diferensiabel di , dan  disebut fungsi turunan dari  . Turunan dari  sering kali ditulis dengan . Notasi dari  juga dapat ditulis:  .

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa) fungsi yang tak diketahui. Meskipun persamaan seperti itu seharusnya disebut “Persamaan Turunan”, namun istilah “persamaan diferensial” (aequatio differentialis) yang diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) pada tahun 1676 sudah umum digunakan. Sebagai contoh, persamaan diferensial      dapat ditulis dalam bentuk ;

Aturan Rantai Turunan Fungsi

Jika fungsi y = (f ∘ g)(x) = f (g(x)) = f(u)y, dengan u = g(x) maka turunan fungsi komposisi  (f ∘ g)(x) ditentukan oleh (f ∘ g)′(x) = f′(g(x)).g′(x)(f∘g)′(x) = f′(g(x)).g′(x) 

Sebagai contoh carilah turunan dari f(x) = (2x+3)^2. Tentu saja kita bisa menjabarkan fungsi f(x) di atas menjadi f(x) = 4x²+12x+9 sehingga f′(x)=8x+12.

Dengan dalil rantai turunan di atas bisa kita lakukan dengan menganggap u(x) = 2x+3 sehingga f(x) = u(x)² maka f′(x) = 2(u(x))1.u′(x) = 2(2x+3).2 = 8x+12

Itu adalah salah satu penerapan dalil rantai yang paling sering ketemu dan dituliskan sbb: Jika f(x)=(u(x))ⁿ maka f′(x)= nu(x)ⁿ⁻¹.u′(x)

PENGGUNAAN TURUNAN

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL SUATU KURVA

Gradien Garis disimbolkan dengan mm dimana :

·         gradien pada persamaan garis y = mx + cy = mx + c adalah m

·         gradien pada persamaan garis ax + by = cax + by = c adalah m = −abm = −ab

·         gradien jika diketahui dua titik (x₁,y₁)(x₁,y₁) dan (x₂,y₂)(x₂,y₂) adalah m = y₂ − y₁x₂ − x₁m = y₂ − y₁x₂ − x₁

Gradien dua garis lurus :

·         yang saling sejajar maka m₁= m₂ m₁ = m₂

·         yang saling tegak lurus maka m₁ m₂ =− 1. m₁ m₂ =−1

Persamaan Garis Lurus :

·         Jika diketahui satu titik (x₁,y₁)(x₁,y₁) dan gradien m, maka persamaan garisnya : y−y₁ =m y− y₁ = m(x−x₁)

·         Jika diketahui dua titik (x₁,y₁)(x₁,y₁) dan (x₂,y₂)(x₂,y₂) maka persamaan garisnya :

·         Perhatikan Gambar Grafik fungsi y = f(x)

Kemiringan (gradien) garis singgung kurva y = f(x) di titik A(a,f(a)) adalah

Persamaan garis lurus yang melalui titik (x₁,y₁)(x₁,y₁) dengan gradien m adalah y− y₁ = m(x−x₁) sehingga Persamaan Garis Singgung di                     titik (a,f(a))(a,f(a)) pada kurva adalah y − f (a) = f′(a)(x−a)

MAKSIMUM DAN MINIMUM

Andaikan fungsi f dengan domain S, untuk menentukan nilai maksimum dan minimum, yaitu

1.      Menentukan apakah f memiliki nilai maksimum atau minimum pada S.

2.      Anggap bahwa nilai itu ada.

3.      Menentukan nilai maksimum dan minimum.

Adapun definisi formal untuk menentukan nilai maksimum dan minimum adalah sebagai berikut :

Definisi : Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c, kita katakan bahwa :

        i.            f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ³ f(x) untuk semua x di S;

      ii.            f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) £ f(x) untuk semua x di S;

    iii.            f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

Akan tetapi, tidak semua fungsi bisa mencapai nilai maksimum dan nilai minimum, akan tetapi f harus kontinu dan himpunan S harus berupa selang tertutup sebagaimana teorema berikut :

Teorema A : (Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum. Titik-titik kunci dari teori maksimum dan minimum terdiri dari tiga jenis titik, yaitu titik ujung, titik stasioner, dan titik singular. Kemudian yang disebut titik kritis fungsi yaitu sebarang titik dalam daerah asal fungsi yang termasuk salah satu dari tiga tipe titik kunci di atas.

Teorema B (Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu :

        i.            titik ujung dari I.;

      ii.            titik stasioner dari f(f’(c) = 0);

    iii.            titik singular dari f(f’(c) tidak ada).

max-n-min

Jadi dapat disimpulkan cara sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I, yaitu :

1.      Carilah titik-titik kritis dari f pada I.

2.      Hitunglah f pada setiap titik kritis. Yang terbesar adalah nilai maksimum; yang terkecil adalah nilai minimum.

KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN

Definisi Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Kita katakan bahwa:

        i.            f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I, x1 < x2 → f(x1) < f(x2)

      ii.            f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan xi dan x2 dalam I, x1 < x2 → f(x1) > f(x2)

    iii.            f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada pada I.

Teorema A (Teorema Kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I.

a.       Jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I.

b.      Jika f’(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I.

Teorema B ; (Terorema Kecekungan).  Andaikan f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b).

        i.            Jika f “ (x) > 0 untuk semua x dakam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b).

      ii.            Jika f “ (x) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah pada (a,b).

PENERAPAN EKONOMIK

Dalam kehidupan sehari-hari banyak masalah-masalah yang berkaitan dengan penentuan nilai maksimum dan minimum. Misalnya dalam bidang ekonomi contohnya dalam mencari keuntungan (laba) maksimum serta mencari biaya produksi minimum.

Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni sisih antara pendapatan dan biaya

PERHITUNGAN KECEPATAN DAN PERCEPATAN

Dalam bidang fisika dibahas mengenai gerak lurus berubah beraturan, yang berarti bahwa kecepatan benda selama bergerak tidaklah tetap. Misalnya benda bergerak menempuh jarak s dalam waktu t.      

{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}

2.2. Pengertian Turunan Fungsi

“Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan / tidak tentu.”

Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers.

Turunan dasar ; Aturan - aturan dalam turunan fungsi adalah :

1. f(x), maka f'(x) = 0
2. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
3. Aturan pangkat : Jika f(x) = xⁿ, maka f’(x) = n X ^{n – 1}
4. Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x)
5. Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

Turunan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dua fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g,         ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan:

1. ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)
2. ( f – g )’ (x) = f’ (x) - g’ (x)
3. (fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)
4. ((f)/g )’ (x) = (g(x) f' (x)- f(x) g' (x))/((g(x)²)

Turunan fungsi trigonometri

1. d/dx ( sin x ) = cos x
2. d/dx ( cos x ) = - sin x
3. d/dx ( tan x ) = sec² x
4. d/dx ( cot x ) = - csc² x
5. d/dx ( sec x ) = sec x tan x
6. d/dx ( csc x ) = -csc x cot x

Turunan fungsi invers  ;  (f^-1)(y) = 1/(f' (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy)

2.3. Contoh Soal dan Pembahasan

7.      Tentukan persamaan garis singgung kurva y=x₂y=x₂ di titik (−1,1)(−1,1) !

Penyelesaian :

• cari m dulu di x  =−1

m = f′(a)

                      = 2x

m  = 2(−1) = −2

• maka persamaan garris singgung kurva dengan gradien m = −2 di (−1,1)(−1,1) adalah:

y−y₁ = m(x−x₁)

y−1  = 2(x−(−1)) = −2x−2= −2x−1

8.      Carilah nilai maksimum dan minimum dari y(x) = x2 + 6x + 5 pada interval [ -4,0].

Penyelesaian :

Turunan dari y(x) adalah y’ (x) = 2x + 6

Titik kritis dari y(x) adalah penyelesaian dari persamaan :

y’(x) = 2x + 6 = 0 ( dikali ½)

x + 3 = 0

x = -3

sehingga, nilai yang menghasilkan ekstrim dari y(x) = -4, -3, 0.

y(-4) = (-4)2 + 6 (-4) + 5 = -3

y(-3) = (-3)2 + 6 (-3) + 5 = -4

y(0) = 02 + 6 (0) + 5 = 5

Jadi, nilai maksimum adalah 5 [dicapai pada y(0)] dan nilai minimum adalah -4 [dicapai pada y(-3)].

9.      Suatu perusahaan farmasi memproduksi suatu jenis obat dengan harga Rp200,- per unit. Jika banyaknya produksi x unit, biaya totalnya 5.000.000+80x+0,003x2, berapa unutkah produk yang harus dijual agar mendapatkan keuntungan maksimum?

Penyelesaian

Pendapatan total = 200x

Biaya total 5.000.000 + 80x + 0,003 x 2

Misalnya keuntungan L9x) = 200x- (5.000.000 + 80x + 0,003 x 2)

Keuntungan akan maksimum jika L’(x) = 0

L’(x)=0 ↔ 120-0,006x = 0

↔ 0,006x = 120

↔x = 20.000

Untuk x=20.000, unit keuntungan yang diperoleh oleh perusahaan farmasi adalah

L(20.000) = 200.20.000-5.000.000+120.(20.000)-0,003.(20.000)2

=4.000.000-5.000.000+2.400.000-0,003.(400.000.000)

=4.000.000-5.000.000+2.400.000-1.200.000

=200.000

Jadi, keuntungan maksimum diperoleh ketika barang produksinya terjual 20.000 unit dan keuntungan maksimum sebesar Rp 200.000,00

10.   Posisi partikel ditunjukkan oleh persamaan s=f(t)=t3-6t²+9t (t dalam detik dan s dalam meter). Tentukan :

a. Kecepatan pada waktu t?

b. Kapan partikel berhenti?

Jawab :

a. Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi.

    s = f(t) = t³ - 6t² + 9t

    v(t) = 3t² - 12t + 9

b. Partikel berhenti jika v(t)=0

   v(t) = 3t² - 12t + 9 = 0

   ó3t² -12t + 9

   ó3(t²-4t+3)

   ó3(t-1)(t-3)=0

   ó t₁=1 dan t₂=3  Partikel berhenti setelah t = 1 atau t = 3 

BAB III

PENUTUP

3.1. Soal

Pilihan Ganda :

1.      Turunan pertama dari fungsi fx adalah f ' (x). Jika fx = 3x³ – 4x + 6, maka nilai dari f ' (2) = ...

A. 22                                          B. 32

C. 38                                          D. 42                                       E. 48

2.      Jika f(x) = (x + 1) (x - 3) maka f '(x) = ....

A. x – 3                                      B. x + 1

C. 2x – 2                                                D. 3x + 1                                 E. 3x

3.      Suatu pabrik sepatu memproduksi x sepatu setiap harinya dengan biaya produksi 3x - 180 + (3000/x) ribu rupiah per pasang. Biaya total minimum perhari adalah...

A. Rp. 450.000                          B. Rp. 300.000

C. Rp. 152.000                          D. Rp.62.000                          E. Rp. 10.000

4.         Fungsi y = x³ + 3x² - 8x + 1 naik pada interval....
                 A. x < 2 atau x < -4                   B. x < 2 atau x > -4
                 C. x > 2 atau x < -4                   D. x > 2 atau x > -4                

         E. x = 2

5.      Persamaan garis singgung kurva y = x² - 4x - 5 di titik (1, -8) adalah ....

A.    y = 2x – 10                                 C. y = x - 9

B.     y = -x – 7                                   D. y = -2x - 6

E .  y = -4x - 4

6.         Fungsi y = x³ + 3x² - 8x + 1 turun pada interval....
                A. x < 2 atau x < -4                    B. x < 2 atau x > -4
                C. x > 2 atau x < -4                    D. x > 2 atau x > -4                

    E. x = 2

7.         Sebuah balon dipompa.Volum balon bertambah dengan laju 1,08 π cm³/detik. Volum balon yang berjari-jari r adalah V = 4/3 πr³ cm³. Laju pertambahan panjang jari-jari balon pada saat r = 3cm adalah...cm/detik 

A.    2,7                                                            C. 3,2

B.     6,5                                                            D. 4,5

E.     7,2

Essay :

1.      Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:

a) f(x) = 3x4 + 2x2 − 5x

b) f(x) = 2x3 + 7x

2.      Diketahui  f’(x) adalah turunan dari f(x) = 5x³ + 2x² + 6x + 12,tentukan nilai f’(x) adalah....

3.      Diketahui fungsi f(x) = 3x⁴ + 2x³ -  x + 2 dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai dari f’(1) adalah...

4.      Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x² di titik yang berabsis (−2)!

5.      Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya (4x – 160 +2000/x) ribu rupiah per hari. Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah

6.      Tentukan nilai maksimum dari fungsi f(x) = 3x(x² − 12)

7.      Diketahui v = ( 3t+9 ) î + (6t+9t) j, tentukan percepatan rata - rata partikel selang waktu 1 sekon hingga 4 sekon

3.2. Kesimpulan

Pembahasan materi Turunan Fungsi Aljabar dapat diambil kesimpulan :

1.           “Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan / tidak tentu.”

2.           Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers.

3.           Aturan pencarian turunan terdiri dari :

I.                   Aturan Konstanta dan Aturan Pangkat yaitu ;

a.       Teorema A : Aturan Fungsi Konstanta

b.      Teorema B : Aturan Fungsi Identitas

c.       Teorema C : Aturan Pangkat

d.      Teorema D : Aturan Kelipatan Konstanta

e.       Teorema E : Aturan Jumlah

f.       Teorema F : Aturan selisih

II.                Aturan Hasilkali dan Hasilbagi

a.       Teorema G : Aturan Hasil kali

b.      Teorema H : Aturan Hasilbagi

4.           Penggunaan turunan fungsi dapat berupa nilai persamaan garis singgung dan garis normal suatu kurva , maksimum minimum, kecekungan, menghitung nilai keuntungan/laba pada ilmu ekonomi , perhitungan kecepatan dan percepatan

C.      Saran

 Demikianlah Makalah Matematika Dasar ini, Makalah ini tentunya masih banyakkekurangan yang harus dilengkapi untuk mencapai kesempurnaan, kedepannya Kami akan lebih fokus dan details dalam menjelaskan tentang penjelasan di atas dengan sumber-sumber yang lebih banyak yang tentunya dapat dipertanggung jawabkan. Kami hanyalahmanusia biasa yang penuh dengan kekurangan, untuk itu penulis mohon dengan segalakerendahan hati, untuk memberikan Saran dan Kritiknya yang bersifat membangun,dengan harapan agar makalah ini bisa lebih sempurna

DAFTAR PUSTAKA

https://id.wikipedia.org/wiki/Matematika

http://pramukajintap.blogspot.co.id/2013/12/matematika-dasar-turunan-diferensial.html

https://id.wikipedia.org/wiki/Turunan_fungsi

http://elisfitrianiannajah.blogspot.co.id/2015/11/kalkulus-1.html

https://meiandmath22.files.wordpress.com/2014/01/turunan-fungsi-kelompok-2.docx.

https://yos3prens.wordpress.com/2013/03/23/turunan-suatu-fungsi/

https://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/124-aplikasi-turunan

https://yuliakurniasih30.files.wordpress.com/2013/05/aplikasi-turunan.pptx

http://www.bantubelajar.com/2014/10/persamaan-gerak-posisi-perpindahan.html

Lks matematika kelas XI penerbit Intan Pariwara

NOTE!!! 

UNTUK RUMUS YANG DIPERLUKAN TAPI TIDAK TERDAPAT PADA ENTRI INI ,BISA DICOPY DI BLOG LAINNYA, KARENA PADA ENTRI INI RUMUS BANYAK YANG SAYA CROP DIKARENAKAN ADA BEBERAPA KENDALA :) TERIMAKASIH :)